Resolución de problemas utilizando logaritmos y
exponenciales.
PROPOSITO DE LA UNIDAD
Resolverá
problemas de logaritmos y exponenciales empleando gráficas, ecuaciones leyes y
propiedades para la representación de situaciones de la vida cotidiana.
RESULTADO DE APRENDIZAJE 1.1:
Manejo de
desigualdades, graficas y procedimientos algebraicos de funciones exponenciales
y logarítmicas mediante leyes y propiedades.
DESIGUALDADES
La expresión a ≠ b significa que " a " no es
igual a " b ". Según los valores particulares de a y de b , puede
tenerse a > b , que se lee “ a mayor que b ”, cuando la diferencia a − b es
positiva y a < b que se lee “ a menor que b ”, cuando la diferencia a − b es
negativa. La notación a ≥ b , que se lee “ a es mayor o igual que b ”,
significa que a > b o que a = b pero no ambos.
Por su parte, la
notación a ≤ b que se lee “ a es menor o igual que b ”, significa que a < b
o que a = b pero no ambos. Una desigualdad se obtiene al escribir dos
expresiones numéricas o algebraicas relacionadas con alguno de los símbolos
>, 3 2) a < 10 3) b ≥ 5 4) 1 2 x ≤ Lo mismo que en las igualdades, en
toda desigualdad, los términos que están a la izquierda del signo mayor o
menor, forman el primer miembro de la desigualdad, y los términos de la
derecha, forman el segundo miembro. De la definición de desigualdad, se deduce
que:
• Todo número
positivo es mayor que cero
• Todo número negativo es menor que cero
• Si dos números son negativos, es mayor el que tiene
menor valor absoluto
• Si a > b entonces b < a . Los signos > o <
determinan dos sentidos opuestos en las desigualdades, dependiendo si el primer
miembro es mayor o menor que el segundo. Se dice que una desigualdad cambia de
sentido, cuando el miembro mayor se convierte en menor o viceversa.
Existen dos clases de desigualdades: las absolutas y las
condicionales.
• Desigualdad absoluta es aquella que se verifica para
cualquier valor que se atribuya a las literales que figuran en ella. Por
ejemplo: x +1 > x 2
• Desigualdad condicional es aquella que sólo se verifica
para ciertos valores de las literales. Por ejemplo: 3x −15 > 0 que solamente
satisface para x > 5 . En este caso se dice que 5 es el límite de x.
Propiedades de las desigualdades
Las siguientes son las propiedades de las desigualdades para los
números reales. Están cercanamente relacionadas a las propiedades de
igualdad , pero hay diferencias importantes.
Dese cuenta especialmente que cuando multiplica o divide ambos lados de
una desigualdad por un número negativo, debe invertir la desigualdad.
PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES
|
Propiedad antireflexiva
|
Para todos los
números reales x,
o
|
Propiedad de antisimetría
|
Para todos los
números reales xy y ,
o
|
Propiedad transitiva
|
Para todos los números
reales x, y , y z ,
o
si x < y y y < z ,
entonces x < z .
o
si x > y y y > z ,
entonces x > z .
|
Propiedad de la suma
|
Para todos los
números reales x, y , y z ,
o
si x < y, entonces x + z < y
+ z .
|
Propiedad de la resta
|
Para todos los
números reales x, y , y z ,
o
si x < y, entonces x – z < y
– z .
|
Propiedad de la multipicación
|
Para todos los
números reales x, y , y z ,
o
si x < y ,
entonces
|
Aplicación de dimensiones
exponenciales
Dominio:
el dominio (conjunto
de definición o conjunto de partida) de una función {\displaystyle f\colon
X\to Y\,} es el conjunto de existencia de ella misma, es decir, los
valores para los cuales la función está definida. Es el conjunto de todos
los objetos que puede transformar, se denota {\displaystyle \operatorname {Dom} _{f}\,} o bien {\displaystyle D_{f}\,}. En {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} se
denomina dominio a un conjunto conexo, abierto y cuyo
interior no sea vacío.
Por otra parte, el
conjunto de todos los resultados posibles de una función dada se denomina condominio de esa
función.
Cálculo del dominio de una función
Para el cálculo
certero del dominio de una función, se debe introducir el concepto de restricción en el cuerpo real. Estas restricciones ayudarán a
identificar la existencia del dominio de una función. Las más usadas son:
Raíz n-ésima de f(x)
No existe
restricción si n es impar, pero si n es par,
la función f(x) necesariamente deberá ser mayor o igual que cero,
ya que las raíces negativas no están definidas en el cuerpo real. Por ejemplo:
{\displaystyle y={\sqrt {7x-21}}}
El índice de la
raíz es par (2), por tanto {\displaystyle
7x-21\geq 0}; despejando, se
tiene que x ≥ 3. El dominio entonces será el conjunto de todos los reales en
el intervalo [3,+∞).
Logaritmo de f(x)
La restricción está
al estudiar las propiedades de los logaritmos las cuales dicen que estos no
están definidos para números negativos, por tanto toda función contenida dentro
de un logaritmo debe ser necesariamente mayor estricto de cero. Por ejemplo:
{\displaystyle \log(x^{2}-9)}
Por la propiedad
anteriormente citada, se observa que para que esta función exista,
necesariamente {\displaystyle
x^{2}-9>0}; despejando, se
obtienen dos soluciones {\displaystyle
x>3} y {\displaystyle x<-3}. La unión de ambas
soluciones representa el dominio de la función, que está definida como el
conjunto (-∞, -3) U (3, +∞).
Fracciones
Otras propiedades
de las matemáticas pueden ayudar a obtener el dominio de una función y excluir
puntos donde esta no esté definida, por ejemplo, una función que tenga forma
de fracción no estará definida cuando el denominador valga cero, ya
que esto es una indeterminación.
Contradominio:
Una función
es una relación que existe entre los elementos de dos conjuntos, es decir,
cuando dos variables están relacionadas, se establece que el valor de una de
ellas queda determinado si se le asigna un valor a la otra.
Dominio y contradominio de una función.
• Dominio de la función: Es el conjunto de
todos los valores admitibles que puede tomar la variable independiente
“x”.
• Contradominio de una función: Son el
conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente “y”. También es
conocido como codominio, recorrido o rango.
Ejemplo:
Dada la función f = (4, 12),(6, -7),(-1,
4),(2, 3),(-3, 6):
• Dominio: Df = 4, 6,-1, 2,- 3 (son los
primeros elementos de los pares ordenados).
• Contradominio: Cf = 12, -7, 4, 3, 6 (son los
segundos elementos de los pares ordenados).
Función Logarítmica
Como la exponencial, la función logarítmica se utiliza con asiduidad en
los cálculos y desarrollos de las matemáticas, las ciencias naturales y las
ciencias sociales. Entre otros fines, se usa ampliamente para «comprimir» la
escala de medida de magnitudes cuyo crecimiento, demasiado rápido, dificulta su
representación visual o la sistematización del fenómeno que representa.
Definición de función logarítmica
Una función logarítmica es aquella que genéricamente se
expresa como f (x) == logax, siendo a la base de
esta función, que ha de ser positiva y distinta de 1.
La función logarítmica es la inversa de la función exponencial (ver t35), dado que:
loga x = b Û ab = x.
Representación gráfica de funciones logarítmicas y de sus inversas
(exponenciales).
Propiedades de la función logarítmica
Las propiedades generales de la función logarítmica se deducen a partir
de las de su inversa, la función exponencial. Así, se tiene que:
·
La función logarítmica sólo existe para valores de x positivos, sin
incluir el cero. Por tanto, su dominio es el intervalo (0,+¥).
·
Las imágenes obtenidas de la aplicación de una función logarítmica
corresponden a cualquier elemento del conjunto de los números reales, luego el
recorrido de esta función es R.
·
En el punto x = 1, la función logarítmica se anula, ya que loga 1
= 0, en cualquier base.
·
La función logarítmica de la base es siempre igual a 1.
·
Finalmente, la función logarítmica es continua, y es creciente para a
> 1 y decreciente para a < 1.
Cuando en una ecuación la variable o incógnita aparece como argumento o
como base de un logaritmo, se llama logarítmica.
La resolución de ecuaciones logarítmicas se basa en los
mismos procedimientos utilizados en la resolución de las ecuaciones habituales.
Aunque no existen métodos fijos, habitualmente se procura convertir la ecuación
logarítmica en otra equivalente donde no aparezca ningún logaritmo. Para ello,
se ha de intentar llegar a una situación semejante a la siguiente:
loga f (x) = loga g (x)
Entonces, se emplean los antilogaritmos para simplificar la ecuación
hasta f (x) = g (x), que se resuelve por los métodos habituales.
También puede operarse en la ecuación logarítmica para obtener una
ecuación equivalente del tipo:
loga f (x) = m
de donde se obtiene que f (x) = am, que sí se puede resolver
de la forma habitual.
Sistemas de ecuaciones logarítmicas
Cuando en un sistema aparecen una o varias ecuaciones logarítmicas, se
denomina sistema de ecuaciones logarítmicas. En el caso de un
sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, se pueden producir tres casos
distintos:
·
Un sistema formado por una ecuación polinómica y una logarítmica.
·
Un sistema constituido por dos ecuaciones logarítmicas.
·
Un sistema compuesto por una ecuación polinómica y una ecuación
exponencial.
En cada caso, se utilizan los métodos habituales de resolución de
sistemas de ecuaciones, teniendo siempre presente que estas ecuaciones han de
transformarse en otras equivalentes, donde la incógnita no aparezca en el
argumento o la base del logaritmo, ni en el exponente de la función
exponencial.
Forma de las funciones logarítmicas según el valor de la base.
Ecuación exponencial
Una ecuación exponencial es
aquella en la que la incógnita aparece, únicamente, en los exponentes de potencias
de bases constantes. La incógnita puede aparecer en el exponente de uno o más términos, en cualquier miembro de la
ecuación. Es decir, una constante está elevada a una función de la incógnita a
despejar, usualmente representada por x. Para resolver dichas
ecuaciones se recurren a las propiedades de la potenciación, la radicación, de
los logaritmos y cambio de la incógnita por otra.
Depende del tipo de ecuación
exponencial del que se trate, hay diversas formas de resolverla, por su nivel
de complejidad. Las más fáciles son por simple inspección, es decir se
descompone la parte numérica en sus factores primos y aplicando logaritmo a
ambos lados de la igualdad. A continuación se brindan algunos ejemplos.
Igualación de bases
Sea la ecuación del siguiente
ejemplo:
{\displaystyle
2^{x+1}=16\,}
Si el primer miembro sólo tiene un
término y el término del segundo miembro es potencia de la base del término del
primer miembro, entonces el segundo miembro, se expresa como potencia de la
base de la expresión que contiene la incógnita. En el ejemplo 16 es potencia de
la base dos de {\displaystyle
2^{x+1}}.
{\displaystyle
2^{x+1}=2^{4}\,}
Luego, por la siguiente
propiedad: {\displaystyle
a^{x}=a^{y}\Rightarrow x=y\,}, tenemos: {\displaystyle x+1=4\,}
{\displaystyle
x=4-1\,}
{\displaystyle
x=3un ejemplo algo variado
42x-1 = 2x
Puesto que 4 = 22 en
la ecuación dada resulta
22(2x-1) = 2x
Finamente, resolviendo 2(2x-1)
= x, se obtiene x = 2/3.
