UNIDAD 1

UNIDAD 1

Resolución de problemas utilizando logaritmos y exponenciales.

PROPOSITO DE LA UNIDAD

Resolverá problemas de logaritmos y exponenciales empleando gráficas, ecuaciones leyes y propiedades para la representación de situaciones de la vida cotidiana.

RESULTADO DE APRENDIZAJE 1.1:

Manejo de desigualdades, graficas y procedimientos algebraicos de funciones exponenciales y logarítmicas mediante leyes y propiedades.

     DESIGUALDADES

La expresión a ≠ b significa que " a " no es igual a " b ". Según los valores particulares de a y de b , puede tenerse a > b , que se lee “ a mayor que b ”, cuando la diferencia a − b es positiva y a < b que se lee “ a menor que b ”, cuando la diferencia a − b es negativa. La notación a ≥ b , que se lee “ a es mayor o igual que b ”, significa que a > b o que a = b pero no ambos.

 Por su parte, la notación a ≤ b que se lee “ a es menor o igual que b ”, significa que a < b o que a = b pero no ambos. Una desigualdad se obtiene al escribir dos expresiones numéricas o algebraicas relacionadas con alguno de los símbolos >, 3 2) a < 10 3) b ≥ 5 4) 1 2 x ≤ Lo mismo que en las igualdades, en toda desigualdad, los términos que están a la izquierda del signo mayor o menor, forman el primer miembro de la desigualdad, y los términos de la derecha, forman el segundo miembro. De la definición de desigualdad, se deduce que:

 • Todo número positivo es mayor que cero

• Todo número negativo es menor que cero

• Si dos números son negativos, es mayor el que tiene menor valor absoluto

• Si a > b entonces b < a . Los signos > o < determinan dos sentidos opuestos en las desigualdades, dependiendo si el primer miembro es mayor o menor que el segundo. Se dice que una desigualdad cambia de sentido, cuando el miembro mayor se convierte en menor o viceversa.    

Existen dos clases de desigualdades: las absolutas y las condicionales.

• Desigualdad absoluta es aquella que se verifica para cualquier valor que se atribuya a las literales que figuran en ella. Por ejemplo: x +1 > x 2

• Desigualdad condicional es aquella que sólo se verifica para ciertos valores de las literales. Por ejemplo: 3x −15 > 0 que solamente satisface para x > 5 . En este caso se dice que 5 es el límite de x.

Propiedades de las desigualdades

Las siguientes son las propiedades de las desigualdades para los números reales. Están cercanamente relacionadas a las propiedades de igualdad , pero hay diferencias importantes.

Dese cuenta especialmente que cuando multiplica o divide ambos lados de una desigualdad por un número negativo, debe invertir la desigualdad.

PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES
Propiedad antireflexiva	Para todos los números reales x, o
Propiedad de antisimetría	Para todos los números reales xy y , o
Propiedad transitiva	Para todos los números reales x, y , y z , o    si x < y y y < z , entonces x < z . o    si x > y y y > z , entonces x > z .
Propiedad de la suma	Para todos los números reales x, y , y z , o    si x < y, entonces x + z < y + z .
Propiedad de la resta	Para todos los números reales x, y , y z , o    si x < y, entonces x – z < y – z .
Propiedad de la multipicación	Para todos los números reales x, y , y z , o    si x < y , entonces

Aplicación de dimensiones exponenciales

Dominio:

el dominio (conjunto de definición o conjunto de partida) de una función {\displaystyle f\colon X\to Y\,} es el conjunto de existencia de ella misma, es decir, los valores para los cuales la función está definida. Es el conjunto de todos los objetos que puede transformar, se denota {\displaystyle \operatorname {Dom} _{f}\,} o bien {\displaystyle D_{f}\,}. En {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} se denomina dominio a un conjunto conexo, abierto y cuyo interior no sea vacío.

Por otra parte, el conjunto de todos los resultados posibles de una función dada se denomina condominio de esa función.

Cálculo del dominio de una función

Para el cálculo certero del dominio de una función, se debe introducir el concepto de restricción en el cuerpo real. Estas restricciones ayudarán a identificar la existencia del dominio de una función. Las más usadas son:

Raíz n-ésima de f(x)

No existe restricción si n es impar, pero si n es par, la función f(x) necesariamente deberá ser mayor o igual que cero, ya que las raíces negativas no están definidas en el cuerpo real. Por ejemplo:

{\displaystyle y={\sqrt {7x-21}}}

El índice de la raíz es par (2), por tanto {\displaystyle 7x-21\geq 0}; despejando, se tiene que x ≥ 3. El dominio entonces será el conjunto de todos los reales en el intervalo [3,+∞).

Logaritmo de f(x)

La restricción está al estudiar las propiedades de los logaritmos las cuales dicen que estos no están definidos para números negativos, por tanto toda función contenida dentro de un logaritmo debe ser necesariamente mayor estricto de cero. Por ejemplo:

{\displaystyle \log(x^{2}-9)}

Por la propiedad anteriormente citada, se observa que para que esta función exista, necesariamente {\displaystyle x^{2}-9>0}; despejando, se obtienen dos soluciones {\displaystyle x>3} y {\displaystyle x<-3}. La unión de ambas soluciones representa el dominio de la función, que está definida como el conjunto (-∞, -3) U (3, +∞).

Fracciones

 División por cero

Otras propiedades de las matemáticas pueden ayudar a obtener el dominio de una función y excluir puntos donde esta no esté definida, por ejemplo, una función que tenga forma de fracción no estará definida cuando el denominador valga cero, ya que esto es una indeterminación.

Contradominio:

Una función es una relación que existe entre los elementos de dos conjuntos, es decir, cuando dos variables están relacionadas, se establece que el valor de una de ellas queda determinado si se le asigna un valor a la otra. 

Dominio y contradominio de una función. 
• Dominio de la función: Es el conjunto de todos los valores admitibles que puede tomar la variable independiente “x”. 
• Contradominio de una función: Son el conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente “y”. También es conocido como codominio, recorrido o rango. 
Ejemplo: 
Dada la función f = (4, 12),(6, -7),(-1, 4),(2, 3),(-3, 6): 
• Dominio: Df = 4, 6,-1, 2,- 3 (son los primeros elementos de los pares ordenados). 
• Contradominio: Cf = 12, -7, 4, 3, 6 (son los segundos elementos de los pares ordenados).

Función Logarítmica

Como la exponencial, la función logarítmica se utiliza con asiduidad en los cálculos y desarrollos de las matemáticas, las ciencias naturales y las ciencias sociales. Entre otros fines, se usa ampliamente para «comprimir» la escala de medida de magnitudes cuyo crecimiento, demasiado rápido, dificulta su representación visual o la sistematización del fenómeno que representa.

Definición de función logarítmica

Una función logarítmica es aquella que genéricamente se expresa como f (x) == log_ax, siendo a la base de esta función, que ha de ser positiva y distinta de 1.

La función logarítmica es la inversa de la función exponencial (ver t35), dado que:

log_a x = b Û a^b = x.

Representación gráfica de funciones logarítmicas y de sus inversas (exponenciales).

Propiedades de la función logarítmica

Las propiedades generales de la función logarítmica se deducen a partir de las de su inversa, la función exponencial. Así, se tiene que:

·         La función logarítmica sólo existe para valores de x positivos, sin incluir el cero. Por tanto, su dominio es el intervalo (0,+¥).

·         Las imágenes obtenidas de la aplicación de una función logarítmica corresponden a cualquier elemento del conjunto de los números reales, luego el recorrido de esta función es R.

·         En el punto x = 1, la función logarítmica se anula, ya que log_a 1 = 0, en cualquier base.

·         La función logarítmica de la base es siempre igual a 1.

·         Finalmente, la función logarítmica es continua, y es creciente para a > 1 y decreciente para a < 1.

Ecuaciones logarítmicas

Cuando en una ecuación la variable o incógnita aparece como argumento o como base de un logaritmo, se llama logarítmica.

La resolución de ecuaciones logarítmicas se basa en los mismos procedimientos utilizados en la resolución de las ecuaciones habituales. Aunque no existen métodos fijos, habitualmente se procura convertir la ecuación logarítmica en otra equivalente donde no aparezca ningún logaritmo. Para ello, se ha de intentar llegar a una situación semejante a la siguiente:

log_a f (x) = log_a g (x)

Entonces, se emplean los antilogaritmos para simplificar la ecuación hasta f (x) = g (x), que se resuelve por los métodos habituales.

También puede operarse en la ecuación logarítmica para obtener una ecuación equivalente del tipo:

log_a f (x) = m

de donde se obtiene que f (x) = a^m, que sí se puede resolver de la forma habitual.

Sistemas de ecuaciones logarítmicas

Cuando en un sistema aparecen una o varias ecuaciones logarítmicas, se denomina sistema de ecuaciones logarítmicas. En el caso de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, se pueden producir tres casos distintos:

·         Un sistema formado por una ecuación polinómica y una logarítmica.

·         Un sistema constituido por dos ecuaciones logarítmicas.

·         Un sistema compuesto por una ecuación polinómica y una ecuación exponencial.

En cada caso, se utilizan los métodos habituales de resolución de sistemas de ecuaciones, teniendo siempre presente que estas ecuaciones han de transformarse en otras equivalentes, donde la incógnita no aparezca en el argumento o la base del logaritmo, ni en el exponente de la función exponencial.

Forma de las funciones logarítmicas según el valor de la base.

Ecuación exponencial

Una ecuación exponencial es aquella en la que la incógnita aparece, únicamente, en los exponentes de potencias de bases constantes. La incógnita puede aparecer en el exponente de uno o más términos, en cualquier miembro de la ecuación. Es decir, una constante está elevada a una función de la incógnita a despejar, usualmente representada por x. Para resolver dichas ecuaciones se recurren a las propiedades de la potenciación, la radicación, de los logaritmos y cambio de la incógnita por otra.

Formas de resolución

Depende del tipo de ecuación exponencial del que se trate, hay diversas formas de resolverla, por su nivel de complejidad. Las más fáciles son por simple inspección, es decir se descompone la parte numérica en sus factores primos y aplicando logaritmo a ambos lados de la igualdad. A continuación se brindan algunos ejemplos.

Igualación de bases

Sea la ecuación del siguiente ejemplo:

{\displaystyle 2^{x+1}=16\,}

Si el primer miembro sólo tiene un término y el término del segundo miembro es potencia de la base del término del primer miembro, entonces el segundo miembro, se expresa como potencia de la base de la expresión que contiene la incógnita. En el ejemplo 16 es potencia de la base dos de {\displaystyle 2^{x+1}}.

{\displaystyle 2^{x+1}=2^{4}\,}

Luego, por la siguiente propiedad: {\displaystyle a^{x}=a^{y}\Rightarrow x=y\,}, tenemos: {\displaystyle x+1=4\,}

{\displaystyle x=4-1\,}

{\displaystyle x=3un ejemplo algo variado

4^2x-1 = 2^x

Puesto que 4 = 2² en la ecuación dada resulta

2^2(2x-1) = 2^x

Finamente, resolviendo 2(2x-1) = x, se obtiene x = 2/3.