UNIDAD 2

UNIDAD 2

RSULTADO DE APRENDIZAJE:

                Modelado angular, lineal  de superficie y espacial.

PROPOSITO DE LA UNIDAD:

                Calculará dimensiones, angulares, lineales, superficiales de figuras geométricas con base en propiedades,  teoremas y leyes pero la solución de problemas en contextos diversos.

Resultado de aprendizaje 2.1:

                Resuelve  problemas  de dimensiones lineales y superficiales de figuras geométricas mediante propiedades, teoremas, cálculos aritméticos y algebraicos.

CONTENIDOS:

CÁLCULO Y TRAZO DE COMPONENTES DE LA GEOMETRIA. ANGULOS: MEDICION, CLASIFICACION, OPERACIONES, ECUACIONES.

Tipo de ángulos

·         Observaremos que hay diferentes tipos de ángulos. Los definimos a continuación:

·         Ángulo recto: es el ángulo formado por dos rectas dispuestas perpendicularmente.

·         Ángulo agudo: es un ángulo menor que un ángulo recto.

·         Ángulo llano: es el ángulo formado por dos rectas planas.

·         Ángulo obtuso: es un ángulo menor que un ángulo llano pero mayor que un ángulo recto.

·         Ángulo completo

·         : es el ángulo formado por dos rectas superpuestas.

·         Ángulo cóncavo: es un ángulo mayor que un ángulo obtuso pero menor que un ángulo completo.

PUNTO Y LINEA: DEFINICION, COLINEIDAD, PARALELISMO, RECTA SECANTE A UNA CURVA, ANGULOS ENTRE PARALELOS Y UNA SECANTE, CONGRUENCIA, RAZONES Y PROPORCIONES, SUPERFICIE, DEFINICION, PARALELISMO: 

En geometría, el punto es uno de los entes fundamentales, junto con la recta y el plano. Son considerados conceptos primarios, es decir, que sólo es posible describirlos en relación con otros elementos similares o parecidos. Se suelen describir apoyándose en los postulados característicos, que determinan las relaciones entre los entes geométricos fundamentales.

El punto es una figura geométrica sin dimensión, tampoco tiene longitud, área, volumen, ni otro ángulo dimensional. No es un objeto físico. Describe una posición en el espacio, determinada respecto de un sistema de coordenadas preestablecidas.

Líneas, segmentos, y rayas

Aunque intuitivamente sabemos que es una línea , actualmente es díficil dar una buena definición matemática. Aproximadamente, podemos decir que una línea es una colección de puntos infinitamente delgada, infinitamente larga extendiéndose en dos direcciones opuestas. Cuando dibujamos líneas en geometría, usamos una flecha en cada extremo para mostrar que se extiende infinitamente.

Una línea puede ser nombrada ya sea usando dos puntos en la línea (por ejemplo,  ) o simplemente por una letra, usualmente minúscula (por ejemplo, línea m ).

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Un segmento de línea tiene dos puntos finales. Contiene esos puntos finales y todos los puntos de línea entre ellos. Usted puede medir la longitud de un segmento, pero no la de una línea.

Un segmento es nombrado por sus dos puntos finales, por ejemplo,  .

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Una raya es una parte de una línea que tiene un punto final y va infinitamente en una sola dirección. Usted no puede medir la longitud de una raya.

Una raya es nombrada usando su punto final primero, y luego cualquier otro punto en la raya (por ejemplo,  ).

Paralelismo (matemática)

Dos rectas paralelas.

 

Planos paralelos.

En la geometría, el paralelismo es una relación que se establece entre cualquier variedad lineal de dimensión mayor o igual que 1 (rectas, planos, hiperplanos y demás). En el plano cartesiano dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente o son perpendiculares a uno de los ejes, por ejemplo la función constante. En geometría afín, expresando una variedad lineal como V = p + E, con p punto y E espacio vectorial, se dice que A = a + F es paralela a B = b + G sii F está contenido en G o G está contenido en F, donde A y B son sub variedades lineales de la misma variedad lineal V y F y G son sub espacios vectoriales del mismo espacio vectorial E. En el plano (afín) (V = {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}), esto se traduce de la siguiente manera: dos rectas son paralelas si contienen un mismo vector director.

Recta secante

Recta secante que corta una curva.

Secantes, cuerdas y tangentes de la circunferencia.

Una recta secante (lat. secare "cortar") es una recta que corta a una curva en 2 puntos. Conforme estos puntos se acercan y su distancia se reduce a cero, la recta adquiere el nombre de recta tangente.

Dados los puntos de intersección A y B puede calcularse la ecuación de la recta secante. Para ello en matemáticas se emplea la ecuación de la recta que pasa por dos puntos.

{\displaystyle y={\frac {y_{A}-y_{B}}{x_{A}-x_{B}}}x+{\frac {x_{A}y_{B}-x_{B}y_{A}}{x_{A}-x_{B}}}}

La siguiente figura muestra dos rectas paralelas y una secante que las corta:

Al cortar la secante a las dos rectas paralelas se forman ocho ángulos:

Razón (matemáticas)

En las matemáticas la razón es una relación binaria entre magnitudes (es decir, objetos, personas, estudiantes, cucharadas, unidades del SI, etc.), generalmente se expresa como "a es a b" o a:b. En el caso de números toda razón se puede expresar como una fracción y eventualmente como un decimal.

Razón geométrica

La razón geométrica es la comparación de dos cantidades por su cociente, donde se ve cuántas veces contiene una a la otra. Sólo si las magnitudes a comparar tienen la misma unidad de medida la razón es adimensional.

Una razón «X:Y» se puede leer como «X sobre Y», o bien «X es a Y».

El numerador de la razón (es decir, el X) se llama antecedente y al denominador (el Y) se le conoce como consecuente.

Ejemplo

18:6 representa la razón de 18 entre 6, que es igual a 3 (18 tiene tres veces 6). Su razón geométrica es 3, su antecedente 18, y su consecuente 6.

IDENTIFICACION DE LAS PROPIEDADES DE LOS TRIANGULOS CLASIFICACION POR SUS LADOS, POR SUS ANGULOS.

 

Triángulo equilátero

Si sus tres lados tienen la misma longitud (los tres ángulos internos miden 60º  grados).

Triángulo isósceles

Si tiene dos lados de la misma longitud. Los ángulos que se oponen a estos lados tienen la misma medida.

Triángulo escaleno

Si todos sus lados tienen longitudes diferentes. En un triángulo escaleno no hay ángulos con la misma medida.

CLASIFICACION DE ANGULOS,  PUNTOS Y RECTAS NOTABLES

Triángulo Rectángulo

Si tiene un ángulo interior recto 90º. A los dos lados que conforman el ángulo recto se les denomina catetos y al otro lado hipotenusa.

Triángulo obtusángulo

Si uno de sus ángulos es obtuso (mayor de 90º ); los otros dos son agudos (menor de 90º ).

Triángulo acutángulo

Cuando sus tres ángulos son menores a  90º; el triángulo equilátero es un caso particular de triángulo acutángulo.

Triángulo equiángulo

Normalmente se llama Triángulo equilátero y ya se ha comentado anteriormente.

 

Tenemos las siguientes características:

·         Triángulo acutángulo isósceles: con todos los ángulos agudos, siendo dos iguales, y el otro distinto, este triángulo es simétrico respecto de su altura diferente.

·         Triángulo acutángulo escaleno: con todos sus ángulos agudos y todos diferentes, no tiene ejes de simetría.

Los triángulos rectángulos pueden ser:

·         Triángulo rectángulo isósceles: con un angulo recto y dos agudos iguales (de  cada uno), dos lados son iguales y el otro diferente, naturalmente los lados iguales son los catetos, y el diferente es la hipotenusa, es simétrico respecto a la altura que pasa por el ángulo recto hasta la hipotenusa.

·         Triángulo rectángulo escaleno: tiene un ángulo recto y todos sus lados y ángulos son diferentes.

Los triángulos obtusángulos son:

·         Triángulo obtusángulo isósceles: tiene un ángulo obtuso, y dos lados iguales que son los que parten del ángulo obtuso, el otro lado es mayor que estos dos.

·         Triángulo obtusángulo escaleno: tiene un ángulo obtuso y todos sus lados son diferentes.

CALCULO DE PERIMETO: TEOREMA DE PITAGORAS.

      El teorema de Pitágoras establece que en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Empleo del teorema de Pitágoras

Conociendo los lados de un triángulo, averiguar si es rectángulo

Para que un triángulo sea rectángulo el cuadrado de lado mayor ha de ser igual a la suma de los cuadrados de los dos menores.

Determinar si el triángulo es rectángulo.

Conociendo los dos catetos calcular la hipotenusa

Los catetos de un triángulo rectángulo miden en 3 m y 4 m respectivamente. ¿Cuánto mide la hipotenusa?

Conociendo la hipotenusa y un cateto, calcular el otro cateto

La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 5 m y uno de sus catetos 3 m. ¿Cuánto mide otro cateto?

Ejercicios

Una escalera de 10 m de longitud está apoyada sobre la pared. El pie de la escalera dista 6 m de la pared. ¿Qué altura alcanza la escalera sobre la pared?

Hallar el área del triángulo equilátero:

CALCULO DEL AREA: DADA LA ALTURA, DADO LOS LADOS:

CALCULAR EL ÁREA DEL TRIÁNGULO:

Principio del formulario

Base:    metros. Altura:    metros.

SEMEJANZA:

La semejanza de triángulos es una característica que hace que dos o más triángulos sean semejantes.

Dos triángulos son semejantes cuando tienen sus ángulos iguales (o congruentes) y sus lados correspondientes (u homólogos) son proporcionales.

Son lados homólogos los opuestos a ángulos iguales.

Aquí tenemos un caso, donde se ven los elementos homólogos (ángulos y lados) con la igualdad o congruencia de sus ángulos y la proporcionalidad de los lados:

CLASIFICACION DE LAS PROPIDADES DE LOS CUADRILATEROS. CARACTERISTICAS, LADOS, VERTICES, LADOS OPUESTOS, ANGULOS OPUESTOS, LADOS ADYACENTES.

DEFINICIÓN DE CUADRILÁTERO: Los polígonos limitados por cuatro lados y que además forman entre sí cuatro ángulos, se denominan “Cuadriláteros”.

NOTACIÓN: Todo cuadrilátero se indica por las letras mayúsculas de sus vértices.

Ejemplos:

PROPIEDADES DE LOS CUADRILÁTEROS:

1. Los “LADOS OPUESTOS” son iguales y que no tienen ningún vértice en común.
2. Los “LADOS CONSECUTIVOS” son los que tienen un vértice en común.
3. Los “VÉRTICES Y ÁNGULOS OPUESTOS” son los que no pertenecen a un mismo lado, siendo los ángulos iguales.
4. La “SUMA DE ÁNGULOS INTERIORES” es igual a cuatro rectos (360°).
   <br<
5. Los “ÁNGULOS ADYACENTES” a un mismo lado son suplementarios, es decir, suman 180°.
   
   </br<>
6. Las “DIAGONALES” se cortan en su punto medio.
7. El “NÚMERO TOTAL DE DIAGONALES” que pueden trazarse siempre son dos y que se cortan en un punto interior.
8. Desde un Vértice solo puede trazarse una “DIAGONAL”.
   
   

DE CUADRILÁTEROS:

1. Si los lados opuestos son paralelos entre sí, se les denomina “PARALELOGRAMOS”.
   
   
• CUADRADOS: Es un polígono regular que tiene sus ángulos y lados iguales.

• RECTÁNGULOS: Es un paralelogramo que tiene sus lados contiguos desiguales, es decir, solamente sus lados opuestos son iguales; sus cuatro ángulos son rectos.

• ROMBOS: Paralelogramos que tiene sus lados iguales y sus ángulos son oblicuos, es decir, sus ángulos no son rectos.

• ROMBOIDES: Paralelogramo que tiene sus lados contiguos desiguales, es decir, solamente sus lados opuestos son iguales y sus ángulos son oblicuos.

2. Si únicamente dos de sus lados opuestos son paralelos, es decir, los que se llaman “Bases” y los otros dos no, se denominan “TRAPECIOS”
• TRAPECIO ESCALENO: Es aquel que tiene los lados no paralelos desiguales.

• TRAPECIO ISOSCELES: Es aquel que tiene los lados no paralelos de igual longitud, formando con las bases ángulos adyacentes iguales.

• TRAPECIO RECTÁNGULO: Es aquel que tiene un lado perpendicular a las bases, formando un ángulo recto con cada base.

3. Los cuadriláteros cuyos lados opuestos no son paralelos entre sí, se denominan “TRAPEZOIDES”.
   
   
• TRAPEZOIDES SIMÉTRICOS: Son los que tienen dos pares de lados consecutivos iguales pero el primer par de lados consecutivos iguales es diferente del segundo.

• TRAPEZOIDES ASIMÉTRICOS: Son aquellos que no ofrecen ninguna de las características de un trapezoide simétrico.

CALCULO DEL PERIMTRO Y AREA: FORMULA. PROBLEMA.

CUADRADO: (l * l)

RECTANGULO: (b *h)                                                        L=5                A=  l * l

TRAPECIO: (B + b/2 * h)                                                                         A= (5)(5)

ROMBO: (D*d/2)                                              L=5                                  A= 25CM3

IDENTIFICACION DE LOS POLIGONOS DE MAS DE 4 LADOS, CLASIFICACION.

                

                                         

DESCOMPOSICION DE POLIGONOS EN DIAGONALES.

Encontrar las diagonales en un polígono es una habilidad necesaria que se debe desarrollar en matemáticas. Puede parecer difícil al principio, pero es bastante simple una vez que aprendes la fórmula básica. Una diagonal es cualquier segmento de línea que se traza entre los vértices de un polígono y que no incluye los lados de ese polígono.^[1] Un polígono es cualquier forma que tiene más de tres lados. Usando una fórmula muy simple, puedes calcular el número de diagonales en un polígono, ya sea que tenga 4 o 4000 lados.

Define la fórmula. La fórmula para encontrar el número de lados de un polígono es n(n - 3)/2, en donde "n" es igual al número de lados del polígono.^[10] Usando la propiedad distributiva, esto puede reescribirse como (n² - 3n)/2. Puedes verlo de cualquier manera; ambas ecuaciones son idénticas.

·         Esta ecuación puede usarse para encontrar el número de diagonales de cualquier polígono.

·         Ten en cuenta que el triángulo es una excepción a esta regla. Debido a la forma del triángulo, no tiene ninguna diagonal.

Identifica el número de lados en el polígono. Para usar esta fórmula, debes identificar el número de lados que el polígono tiene. El número de lados se da en el nombre del polígono, solo tienes que saber lo que cada nombre significa. Estos son algunos prefijos comunes que verás en los polígonos:^[12]

·         Tetra (4), penta (5), hexa (6), hepta (7), octa (8), enea (9), deca (10), endeca (11), dodeca (12), trideca (13), tetradeca (14), pentadeca (15), etc.

·         Los polígonos de muchos lados tienen cada uno su propio nombre, el cual puedes buscar en línea escribiendo por ejemplo "polígono de 44 lados + nombre" en un motor de búsqueda.

·         Si se te da una imagen del polígono, simplemente puedes contar el número de lados.

Reemplaza el número de lados en la ecuación. Una vez que sepas cuántos lados tiene el polígono, simplemente tienes que reemplazar ese número en la ecuación y resolverla. Cada vez que veas "n" en la ecuación, reemplázala por el número de lados del polígono.^[13]

·         Por ejemplo: un dodecágono tiene 12 lados.

·         Escribe la ecuación: n(n - 3)/2.

·         Reemplaza la variable: (12(12 - 3))/2.

Resuelve la ecuación. Termina resolviendo la ecuación usando el orden de operaciones adecuado. Empieza resolviendo la resta, luego multiplica, luego divide. La respuesta final es el número de diagonales del polígono.^[14]

·         Por ejemplo: (12(12 – 3))/2.

·         Resta: (12*9)/2.

·         Multiplica: (108)/2.

·         Divide: 54.

·         Un dodecágono tiene 54 diagonales

IDENTIFICACIÓN DE  LOS ELEMENTOS Y PROPIEDADES DEL CÍRCULO:

Los elementos del círculo son los siguientes:

1) Centro: es un punto interior equidistante de todos los puntos de la circunferencia.

2) Radio: es un segmento que une el centro con un punto de la circunferencia.

3) Diámetro: es el mayor segmento que une dos puntos de la circunferencia. Corresponde al doble del radio.

4) Arco: es un segmento curvilíneo de puntos que pertenecen a la circunferencia.

5) Cuerda: es un segmento que une dos puntos de la circunferencia. Las cuerdas con mayor longitud que podemos encontrar son los diámetros.

6) Secante: es una recta que corta la circunferencia en dos puntos.

7) Tangente: es una recta que toca la circunferencia en un solo punto.

 

ANGULOS:

Ángulos del Círculo

Si dibujamos líneas rectas dentro de la circunferencia o que tengan alguna relación con ella, podemos formar varios tipos de ángulos.

Los ángulos principales son: ángulo central, ángulo inscrito, ángulo semi-inscrito. También existen los ángulos interiores y exteriores que no trataremos por ahora.

Ángulo Central

Un ángulo central es el que tiene su vértice en el centro de la circunferencia y sus extremos están sobre la circunferencia. Este ángulo está formado por 2 radios.

Ángulo Inscrito

Un ángulo inscrito es el formado cuando los extremos y el vértice están sobre la circunferencia.

Ángulo Semi-Inscrito

Un ángulo semi-inscrito es el que tiene el vértice en la circunferencia. Lo forman una recta que une dos puntos de la circunferencia y una recta que toca la circunferencia en un solo punto donde está el vértice.

                

2.2

CONTENIDOS

GRAFICAS DE TRES DIMENSIONES:

PUNTO: En geometría, el punto es uno de los entes fundamentales, junto con la recta y el plano. Son considerados conceptos primarios, es decir, que sólo es posible describirlos en relación con otros elementos similares o parecidos. Se suelen describir apoyándose en los postulados característicos, que determinan las relaciones entre los entes geométricos fundamentales.

El punto es una figura geométrica sin dimensión, tampoco tiene longitud, área, volumen, ni otro ángulo dimensional. No es un objeto físico. Describe una posición en el espacio, determinada respecto de un sistema de coordenadas preestablecidas.

 

SEGMENTOS:

Un segmento, en geometría, es un fragmento de recta que está comprendido entre dos puntos, llamados puntos extremos o finales.

Así, dado dos puntos A y B, se le llama segmento AB a la intersección de la semirrecta de origen A que contiene al punto B con la semirrecta de origen B que contiene al punto A. Los puntos A y B son extremos del segmento y los puntos sobre la recta a la que pertenece el segmento (la «recta sostén»), serán interiores o exteriores al segmento según pertenezcan o no a este.

CALCULO DE VOLUMENES Y AREAS: