UNIDAD 3

UNIDAD 3

APLICACIÓN DE LA TRIGONOMETRIA

PROPOSITO DE LA UNIDAD:

Resuelve problemas  de ecuaciones empleando funciones trigonométricas, identidades por su grafica para la solución de situaciones del entorno.

RESULTADO DE APRENDIZAJE 3.1:

Resuelve problemas relacionados con triángulos rectángulos u oblicuángulos empleandi razones y leyes trigonométricas.

Funciones trigonométricas

Cada par de lados homólogos (que se ubican en la misma posición) de un triángulo rectángulo cuyos ángulos sean iguales serán proporcionales.

Para que sea más fácil interpretar lo que se está explicando el típico triángulo de catetos de 3 cm y 4 cm, que tendrá su hipotenusa de 5 cm (Pitágoras). Dibujemos otros dos triángulos donde los catetos y la hipotenusa sean el doble y el triple (según corresponda).

La proporcionalidad también puede escribirse respecto a los lados homólogos.

Lo importante a destacar es que el ángulo en todos los casos es el mismo.

Este hecho es importante ya que permite relacionar a los ángulos con la razón de la proporción de los lados. Esta relación presenta la propiedad de unicidad y la propiedad de completitud (para cada par de lados homólogos existe siempre un único valor (razón) relacionado con una determinada [existe y es única] amplitud angular), por lo tanto se establece una función, a las que llamaremos trigonométrica.

Funciones Trigonométricas:

Si dividimos:		llamaremos a esta función:
		Seno y la denotaremos por Sen(a)
		Coseno y la denotaremos por Cos(a)
		Tangente y la denotaremos por Tan(a)
		Cotangente y la denotaremos por Cot(a)
		Secante y la denotaremos por Sec(a)
		Cosecante y la denotaremos por Csc(a)

NOTA: Las funciones Seno y Cosecante son inversas. También son inversas las funciones Coseno y Secante. Finalmente son inversas las funciones Tangente con Cotangente.

Esto es:

Las funciones trigonométricas son funciones periódicas, repiten el valor de imagen cada 360º. De esa manera tenemos que:  cos 60º = cos 420º = 0,5

Grafiquemos, mediante tablas, las siguientes funciones tomando valores angulares desde 0º hasta 360º. Para facilitar el trabajo tomemos ángulos a intervalos de 45º:

Función Seno:

Función Coseno:

Función Tangente:

//// significa que no se puede calcular el valor de la función, el resultado no existe (asíntota).

Función Cotangente:

Función Secante

Función Cosecante:

Sistema Circular de Medición de Ángulos:

El sistema de medición de ángulos que solemos utilizar es el sexagesimal, divide a lacircunferencia en seis partes de 60º cada  una, obteniendo un giro completo de 360º. Cuando se quiso utilizar este sistema  en física, para poder calcular el camino desarrollado por alguna partícula en trayectoria circular, se encontraron que el sistema sexagecimal no los ayudaba pues, matemáticamente, no está relacionado con el arco que describe el cuerpo al moverse. De esa manera se "inventó" otro sistema angular, el sistema circular, donde la medida del ángulo se obtiene al dividir el arco y el radio de la circunferencia. En este sistema un ángulo llano (al dividir el arco por el radio) mide 3,14 (que es el valor aproximado de "p"). De esa manera un giro completo (que es lo mismo que dos ángulos llanos) mide 2p.

180º = p      ó      360º = 2p

Angulos

1) Ángulo agudo: es aquel que mide más de 0° y menos de 90°

2) Ángulo recto: es aquel que mide 90°.

3) Ángulo obtuso: es aquel que mide más de 90° y menos de 180°.

4) Ángulo extendido: es aquel que mide 180°.

5) Ángulo completo: es aquel que mide 360°

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

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Resolver un triángulo consiste en calcular seis elementos: los tres lados y los tres ángulos. Para ello necesitamos conocer tres de estos seis elementos y uno de los datos por lo menos sea un lado. Si el triángulo es rectángulo (un ángulo es 90º) basta conocer dos de sus elementos, uno de los cuales debe ser un lado.

Se llama razón trigonométrica de un ángulo agudo a cada uno de los cocientes que se pueden establecer entre los lados de un triángulo rectángulo cualquiera.Las razones trigonométricas fundamentales (seno, coseno y tangente) relacionan los ángulos agudos y los lados de un triángulo rectángulo de la siguiente forma:

Los lados de un triángulo rectángulo verifican el teorema de Pitágoras :

Para hallar los ángulos se utilizan las inversas de seno, coseno y tangente de la siguiente forma:

Utilizando dichas relaciones se pueden calcular los elementos desconocidos a partir de los conocidos.

Se pueden dar dos casos:

-Se conocen dos lados del triángulo.

I.- Un cateto y la hipotenusa

II.-Los dos catetos

-Se conoce un lado y un ángulo agudo del triángulo.

III.-Un ángulo  agudo y  un cateto

IV.- Un ángulo agudo y la hipotenusa

TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS

Un triángulo oblicuángulo es aquel que no es recto ninguno de sus ángulos, por lo que no se puede resolver directamente por el teorema de Pitágoras, el triángulo oblicuángulo se resuelve por leyes de senos y de cosenos, así como el que las sumas de todos los ángulos internos de un triángulo suman 180 grados.

CASOS DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS

Existen cuatro casos de triángulos oblicuángulos:

• El I y II se resuelven con Ley de Senos

• Los III y IV se resuelven con Ley de Cosenos

I Ángulo Ángulo Lado

Ley de los senos

La ley de los senos es la relación entre los lados y ángulos de triángulos no rectángulos (oblicuos). Simplemente, establece que la relación de la longitud de un lado de un triángulo al seno del ángulo opuesto a ese lado es igual para todos los lados y ángulos en un triángulo dado.

En ∆ABC es un triángulo oblicuo con lados a, b y c , entonces  .

Para usar la ley de los senos necesita conocer ya sea dos ángulos y un lado del triángulo (AAL o ALA) o dos lados y un ángulo opuesto de uno de ellos (LLA). Dese cuenta que para el primero de los dos casos usamos las mismas partes que utilizó para probar la congruencia de triángulos en geometría pero en el segundo caso no podríamos probar los triángulos congruentes dadas esas partes. Esto es porque las partes faltantes podrían ser de diferentes tamaños. Esto es llamado el caso ambiguo y lo discutiremos más adelante.